數論是數學裏最古老的一門分支，其中充滿許多淺顯易懂的問題以及迷人的猜想。然而，在數論問題的求解過程，可能使用到各式各樣的數學工具，例如代數學及複變數函數論等等。因為使用的工具不同，數論發展出兩套獨特的理論，稱為代數數論(Algebraic number theory)及解析數論(Analytic number theory)。代數數論的研究在Class field theory完成之後達到某種巔峰的狀態，這套理論在19世紀末到20世紀初萌芽，到1930年代在很多數學家的共同努力下逐步完成。簡單地說，Class field theory是描述一個數體(number fields)的理想類群(ideal class groups)及其交換擴張(abelian
extensions)的對應關係。
代數數論在本系是兩學期的選修課。上學期首先介紹代數整數環的基本性質，緊接著會著重於global fields 和local fields的特有性質的探討。下學期我們期望可以完整地介紹global class field theory 並且介紹部分的local class field theory.
詳細的課程內容如下：
第一學期: Basic Theory
- Basic properties of the ring of algebraic integers
- Completions
- The different and the discriminant
- Cyclotomic fields
- Ideles and Adeles
- The Zeta functions and L-series
第二學期: Class Field Theory
- Norm index computations
- The Artin symbol and reciprocity law
- The existence theorem of class field theory
- Local class field theory
參考教材:
- E. Artin and J. Tate, Class Field Theory, Benjamin, New York, 1967.
- J. W. S. Cassels and A. Frohlich, Algebric Number Theory, Academic Press, 1968.
- S. Lang, Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, GTM110, 1970.
|
課程簡介 
