代數是處理問題時非常有用之抽象工具，也是現代數學的基礎語言之一。它主要是使用公理化的方法來研究數學問題，並有效地推導數學理論。它處理的對象是抽象的集合，這些集合中的元素可以是傳統的數系、矩陣、函數或是幾何量等，正因為它的抽象性，使它能做更廣泛的運用，而抽象思考方式的威力在現在數學的發展上再再被見證。但因為它的抽象性，初學者不容易接納它。這門課主要希望藉由具體到抽象的引導方式來介紹代數學的基本概念和方法，使同學能初步掌握群(group)、環(ring)、體(field)這三個最基本的代數結構，並期望能讓同學體會到它的巧妙之處。

整個代數課程包括以下內容﹕

1. 群

   * 群的概念、正則子群(normal subgroup)、商群(quotient group)。

   * 群同態(homomorphism)與同構(isomorphism)﹕銜接兩個群的橋樑。

   * 三個同構定理﹕研究群結構的基本工具。

   * 置換群(permutation group)﹕具體的群可以幫忙掌握抽象群的概念和性質。

   * Lagrange 定理﹕研究有限群的基本工具。

   * 應用交換群(abelian group)基本定理分類有限生成(finitely generated) 交換群。

   * 群作用(group action)﹕是群論中非常重要的題材，在代數上有很廣泛的應用。

   * Sylow 定理﹕是群論中重要且基本的定理，其可應用在低秩的有限群的分類。

2. 環

   * 環的概念和理想(ideal)、極大理想(maximal ideal)和素理想(prime ideal)。

   * 商環(quotient ring)、環的同構定理﹕研究環結構的基本工具。

   * 中國餘數定理(Chinese remainder theorem)。

   * 唯一分解整環(UFD)﹕探討一般抽象環的因子分解性質。

   * 多項式環﹕具體且重要的環可以幫忙掌握抽象環的概念和性質。

   * Guass 引理、Eisenstein 法則。

   * Euclid 整環、主理想整環(PID)。

3. 體

   * 體的擴張(field extension)。

   * 代數(algebraic)擴張、正則(normal)擴張、可離(separable)擴張。

   * 有限體(finite field)﹕是算術幾何、代數數論中非常重要的體。

   * Galois 理論﹕為了探討方程式根式解所得到的漂亮結果。

基本上這是一個兩個學期的課程，上個學期以群論為主，若同學能順利吸收，可再加上一些基本環論的內容，而下學期則延續或開始環論的介紹，希望環論結束後能有足夠的時間作體論入門。

這門課有許多抽象的理論和証明，初學者一定要勤作習題來幫忙自己熟悉其語言和方法，剛開始會比較辛苦，但一旦徹底瞭解一兩個理論之後，就會對後面的內容得心應手了。