本課程上接高等微積分，為上下兩學期各三學分的課。上學期的內容包含有測度論、積分理論及拓樸學，下學期則包含有函數空間及泛函分析的基本理論。

十九世紀的分析（古典分析）也就是高等微積分所學的，其所針對的是較局部的，如函數在某一點連不連續、可不可微分、或在某一區間可不可積分等等。到了二十世紀的近代分析，為求更廣泛的結果而開始抽象化。本課程即為近代分析的初步，首先要推廣的就是建立Lebesgue積分來取代黎曼積分。

我們知道黎曼積分的建立是對一定義在「區間」上的「有界」函數，先對區間做分割，求取上下和再逼近而得的。而Lebesgue積分其建立方式則是對值域做分割、求和再逼近，所以不須限定函數是有界且積分區域也不限定在區間上，甚至可積分的函數遠比黎曼可積函數要多很多。也由於是對值域做分割，我們必須去測量函數對每一個分割的反映射（inverse image）之集合的大小，於是需要有一個測度（measure）。事實上測度即為區間「長度」之概念延伸而成。測度論的應用極廣，機率即為一個測度，機率論就是建立在測度論之上。

當然積分理論的另一些重點就是積分與微分的關係及積分與極限是否可對調等等，Lebesgue積分皆有著比黎曼積分更廣泛及完善的結果。

近代分析的另一個抽象物品即為函數空間（function spaces）。先固定一定義域，再將定義域上同類型（如同為連續、可微或可積）之函數集合起來，稱之為函數空間。在這個空間上，我們將探討它的代數性質及拓樸性質，更進一步探討定義域及值域皆為函數空間的函數（我們稱之為算子）之性質，這已經進入到泛函分析的領域了。當然這部分授課的多寡將依時間而定。

舉凡是泛函分析、調和分析、微分方程、數值計算、機率統計等等，皆須用到本課程之知識為基礎，本課程也是以上各領域之必修課程！課程內容非常抽象並艱深難懂，故須修本門課之學生皆須抱著非常非常用功之心理準備來修讀。