幾何學的發展可以大略區分為三個時期。(1) 古典的 Euclid 幾何學 (2) 文藝復興時期之後的綜合幾何學，如射影幾何，以及 (3) 十九世紀由 Gauss, Riemann 開始以至於近代的微分幾何學。這三個時期的幾何學在歷史的發展上有其延續性與必然性，然而其研究的方法與所著重的方向卻歷經許多變革。對數學系的同學，通常在中學時代就已經接觸了一定程度的尺規作圖以及幾何證明的訓練，因此對於 (1) 一般不會感到陌生。但是真正嚴謹的 Euclid 公理系統卻一直到二十世紀初的 Hilbert 公理才完全確立。這一點值得向同學介紹。綜合幾何裏有部分題材也值得適度探討以助於幾何歷史觀的建立。
Gauss, Riemann的微分幾何學是現代幾何學的核心。微分幾何對於純粹數學、應用數學、數學物理、工程，乃至於電腦的3D圖學都扮演重要角色。大學的幾何課程應以微分幾何為主要目標。但完整的微分幾何需要較多的數學基礎，因此大學幾何著重於三度空間的曲線論與曲面論。所需要的數學基礎全部都含蓋在大一、大二的必修課中。除了線性代數與多變數微積分，熟悉高等微積分中的隱函數定理與常微分方程的存在唯一定理對於學習大學幾何有很大的幫助。
曲線論包含 Frenet 標架法與整體曲線論。如平面上的等周不等式，rotation index 與空間中繩結理論的簡介。曲面最重要的內容是 Gauss 曲率，包括局部計算，如 Theorema Egregium, Gauss-Codazzi 方程，與整體性質，如 Gauss-Bonnet 定理。 Gauss-Bonnet 定理的思想，證明與應用呈現了幾何、拓樸、分析之間巧妙而完美的結合。而共變微分的觀念更是其中的核心。Riemann 幾何學將僅作最基本的抽象曲面，如 Poincare 上半平面，與測地線的介紹，以達到能了解平行公理與非歐幾何為主。如果時間許可，也可以談談 Hilbert 關於雙曲平面不能等距地勘入三維毆式空間的漂亮定理。
以下為常用之參考文獻:
- Do Carmo 所著的 Differential Geometry of Curves and Surfaces 為常用的教材。
- H. Hopf 的名著 Differential Geometry in the Large 為常用的參考著作。
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