Differential equations are the fundation of natural scientific, mathematical view of worlds - V.I. Arnold

　　微分方程原則上分為常微分方程 (Ordinary Differential Equations) 與偏微分方程 (Partial Differential Equations) 的研究兩大類。

　　數學裡的微分方程，是在研究微分方程式所刻劃的現象。所謂的微分方程式，簡單而言，是指一些函數與其導函數間的等式關係。例如著名的波動方程式

所表達的便是一個函數 u 其對時間的偏導函數和對空間變數的偏導函數之間所構成的等式關係。而常微分方程式，即是指這個等式關係裡面只出現對一個變數（通常是時間）的導函數，而偏微分方程式則是這個等式關係裡有出現對至少兩個變數的偏導函數。

　　在往下講之前，我先講一個定義，就是所謂的解 (solution)。解的意思是滿足微分方程式的函數，當然如果有什麼初始條件（告訴我們所關心的物理量的初始狀態）和邊界條件（告訴我們所關心的物理量在邊界的行為）時，這個解要一併滿足。

　　常微方程式一般都是用來描述一個物理量其時間的變化與其本身的關係。例如一個最簡單用來描述人口成長的模型便是基於「人口的成長率（數學上的表示即是人口數對時間的導函數）與人口數成正比」這個想法所寫下的等式。這個模型下的微分方程式的解，在人口數少的時候精準地預測了實際的現象，但是當人口增加到某一程度時便會開始失真，而之後部份的相關研究便變成了如何修正本來的模型。常微分方程由於主要關心的是物理量對時間的變化，所以自成系統地發展出所謂的「動態系統」這個學門。這個學門主要研究的課題即是所關心的物理量（或說是方程的解）在時間流逝之下的一些現象，例如是否會呈現週期性的變化、是否會趨近到一個固定的「最終結果」、或是不同的起始狀況會導致不同的最終結果之類的問題。

　　偏微方程式也是基於描述一些自然現象所寫下的一些等式。然而由於其中牽扯到兩個以上的變數的微分，所以一般而言所關心的課題也隨不同的方程式而有不同。例如在一般的橢圓型方程裡面，關心的是這個方程的解存不存在、唯不唯一（所謂的 well-posedness）的問題；而拋物型方程所關心的除了上述的問題之外，因為此類方程也有時間的因素，所以與動態系統相若，也特別在意經過一段長時間之後解的收斂性，例如是否收斂到一個橢圓方程的解（所謂的 stability）。至於雙曲型方程，解的存在性一般都來自「常微方程解存在性的定理」（所謂的 ODE 基本定理），因此較不關心這個課題，關心的問題一般都變得更為細膩，但隨著不同的方程而變化頗大。

　　與工學院所學的微分方程不同的是，工學院的學生一般都是學如何把特定的微分方程的解用基本函數（例如多項式、三角函數、對數指數函數等等）及特殊函數給表達出來（所謂的 closed form solution）。然而，在一般的情況下，要找 closed form solution 是極其困難甚至是不可能的。所以從數學的眼光來看，第一步往往是問微分方程的解是否存在（存在是表示知道有函數會滿足微分方程，但是不見得是 closed form solution 或是其它寫得出來的樣子，而只是就知道有解，玄吧？），若能證明解的存在性，那麼下一個問題便是：解是否唯一（在很多情況下，解可能會是兩個以上，此時就會衍生一個問題：哪個解比較合乎自然現象的結果）。這兩個問題雖然看來非常像是哲學的問題（例如物理學家一定覺得明明自然的現象每天都在進行，而那些方程都是在描述自然的現象，解怎麼可能不存在？或是哲學家問上帝存不存在、唯不唯一的問題，記得，就算證明了存在，還是看不到，這跟數學很像），但是往往研究這兩件事的過程中會讓人對所研究的微分方程有更多的了解，所以從某個角度而言數學的研究有其必要。而再往另一個更實際的方面來說，能寫出 closed form solution 的微分方程，往往不一定能馬上從解看出原方程所描述的現象。例如拋物型方程常常扮隨有擴散的效應，也就是說所關心的物理量（例如濃度、溫度）會由量高的地方往量低處流動；而雙曲型方程卻常是滿足守恆律，也就是說若某物理量在某一時間點的最大值是這麼大，那麼這個值永遠這麼大不會「擴散」掉。這種現象上的分野是很難直接從方程的解本身看出來的，所以我想用一句很貼切的話來說明解在微分方程中的地位：叫做見樹不見林裡面的「樹」（而林則是指微分方程所描寫的現象本身）。數學的研究方法，即在從方程的本身（而非從樹），去推敲林的長相。

　　然而，解的本身仍然是對了解微分方程所描述的自然現象，相當不可或缺的一部份。誠如前面所談到的，要求解往往是極為困難的工作，所以數值方法的發展在某種程度上彌補了這個空隙。

　　另外，我想順便在這裡說說我的專業領域。我的專業領域是偏微方程式中的流體力學，簡單的說就是在研究下面的微分方程式（所謂的 Navier-Stokes 方程）：

加上不同的邊界條件 (boundary condition)。這個方程裡面的 u 指的是流體（例如海水）的速度，p 是指流體的壓力，F 是外力（例如重力），ν 是流體的黏滯力（例如蜂蜜的黏滯力比水的大），然後邊界條件是視問題而定。例如放在一個剛性容器中的話，邊界條件就是 u = 0，意思是與邊界鄰接的流體會黏在邊界不動。在這個特定的情況之下，目前數學界只知道解只在短時間存在，長時間會發生什麼事則是廿一世紀被懸賞的數學問題之一（解決的人可以拿到一百萬美金，是我指導教授口中的 million dollar problem）。至於我做的問題，是例如考慮水球等邊界是彈性物質的物質，因為邊界有彈性加上會動所以有不一樣的邊界條件，證明那樣的流體系統在短時間內有解。詳細的內容可以參考我所發表的論文。