分析這個領域，是處理函數及極限的數學。

　　從牛頓 (Newton) 及萊布尼茲 (Leibniz) 發展出微積分這套有用的數學之後，在微積分的基礎上所發展出來的數學，諸如傅里葉變換 (Fourier transform)、變分學 (variation) 等等，往往是物理學家、工程師在面對及解決問題時不可或缺的工具之一。所謂的分析，即是在微積分的基礎上，或為了發展更有用的數學工具，或為了使這些數學工具嚴謹化所發展出來的數學領域。

　　一開始在分析這個領域的發展，多半是以直觀來處理與微積分相關的問題（例如積分符號之外的微分，可以搬進積分符號之內，亦即微分與積分的交換問題）。然而由於在發展微積分時，極限問題的處理便極為含混不清，因此很多直覺上可行的想法，事實上並不全然正確（然而工學院一般在教導學生時，並不一定會提及這種可能會發生的錯誤）。該如何處理函數的極限問題是個極困難的問題，也就是要如何說清楚一個數趨近到零、無窮大或是任意的一個數，對嚴謹的數學來說是件難事。柯西 (Cauchy) 為了解決這個問題，給了一個相當曲折但有效的定義（就是 epsilon-delta 的定義）。在這個定義之下，本來模糊不明的極限開始可以交代得清楚，也因此讓一些數學家嚴謹地重新看待之前所發展出的工具。之前所發展出來的理論，或多或少都有小暇疵…不過瑕不掩瑜，加上適當的修改之後，那些漂亮工具都成了驗證數學之美的美麗代言人。

　　而當微積分成為一套處理問題的標準工具之後，許多相關的領域便紛紛出籠。其中之一是利用微分式子的等式（即微分方程式）來模型化物理、工程以至於生物上所遭遇問題的微分方程 (differential equations)；另一則是測度論 (measure theory)，這是積分論的推廣。微分方程的發展，與線性運算子 (linear operator) 與函數空間 (function space) 結構的發展有密切的關係，因而開啟了泛函分析 (functional analysis) 這個領域的研究；而測度論與古典機率論的結合，便是現代機率論的起源。近代由於電腦科技的發達，使得原本困難的微分方程求解問題，可藉由運算速度快的電腦來求其近似解，這方面的發展便成為數值分析中的重點。