國立中央大學 109 學年度上學期數學建模教學評量文字評量回應

寫在前面：
為了讓各位同學更了解建模課，老師想先談談當初在計資組放這門課的目的。

這門課在原先的設計上是為了「取代」數學組的大二上必修微分方程課的。為什麼要取代而不直接上微分方程就好？這個要從微分方程課的內容談起。基本上微分方程課在必修的這個部份，主要講述一些特殊的一階非線性方程式以及二階（以及高階）常係數方程的解法（視授課時間也許會包含 Laplace 轉換求解的方法），搭配關於常微分方程的一些簡單數學理論以及在無技可施的情況下用冪級數求解的方法。這些內容，在非線性方程的解法部份常常是歷史的產物但是在解決實際問題上並沒有特別的幫助，而級數解雖然是工學院很愛的一種作法但是事實上侷限性也非常大，最後則是與微分方程相關的簡單數學理論，即使不知道也幾乎不影響計資組所安排的後續課程的理解，所以這些必修的內容在實用上最後只有積分因子法和常係數方程的求解是真正有用的，也因此在計資組課程的安排上最後是決定將微分方程移出必修，然後視狀況在微積分課中適當補充（因此老師在微積分課中有講到積分因子法和 Laplace 轉換）。

另一方面，由於科學計算在計資組（或說傳統應用數學）也是重要方向之一，科學計算一個很重要的分支就是使用電腦的快速計算能力求微分方程的近似解（對應到的是下學期的數值微分方程課），因此必須有課程告訴學生什麼叫微分方程，在綜合的衡量之下，老師們決定將數學建模列為計資組必修課，主要的內容為介紹（含推導）很多重要的微分方程式（課程中所提到的 Lotka-Volterra 和諸如 heat equation、wave equation 和 Navier-Stokes equations 都是在應用上非常重要的微分方程式），同時搭配在數學影像處理中會用到的變分學（變分學在應用上的重要性遠高於會求解特殊的微分方程），最後加上數學建模中最基本的量綱分析，微分方程模型的推導、變分學與量網分析這三個部份構成了數學建模內容的骨幹。老師在學期初的第一堂課就說過，數學建模有很多手段，但是我們在必修的這個部份是講微分方程的建模，相信經過上面的解釋大家能更理解這門課程的目的。

然而這樣的課程目標，卻很容易造成失焦的結果，原因相當簡單：推導方程式的過程要用到相當多其它學科（主要是物理學）的知識，對於物理（或是 domain knowledge）掌握度不佳的學生，在模型推導的過程中常會有不知其所以然的情況，加上微積分也不是真的掌握得非常好，最後就是一整個不知道老師在幹什麼。也因此，老師事實上希望大家能從數學建模課中學到的有：量綱分析、散度定理、變分，以及解決問題的經驗。至於模型的推導，大家看過一遍似懂非懂都無妨，主要是有個印象以後真的有用到時再回頭來查即可。

以下是部份文字評量內容及老師回應：

▲上完建模，我仍然不大清楚在這堂課我到底學到了什麼，看過了一些 boundary condition，一些模型，知道 ode45， 相較於微方教我們特定的微分方程的解法，我很清楚我學的東西， 建模感覺像是把一些其他領域，例如：物理、生物，東拼西湊再加上一點微積分
▲覺得在這堂課沒學到很多東西…老師教的內容很多，但覺得蠻難的，導致吸收得不是很好
▲感覺的出來老師想教我們很多東西，但我們好像沒辦法吸收這麼多，內容很豐富但卻很雜亂
▲好難??
關於數學建模想讓大家學到什麼東西，除了上面所說的一些與微積分相關的新的數學工具（如向量微積分和變分）之外，主要就是讓大家了解懂得怎麼應用微積分（推導微分方程）然後解決實際的問題（上述解決問題的經驗）。通常這個解決問題的過程包含了下面三個步驟：Ａ、將實際問題轉化成數學問題（即所謂的數學模型的建構）；Ｂ、對數學模型進行模擬；Ｃ、將模擬結果與實際問題的數據進行分析比對（如果數據吻合表示模型建得好，不吻合就得重新修正模型）。我們在建模課中只演練Ａ和Ｂ（Ｃ在缺乏實際數據的情況下無法執行），所以在課程的內容中主要講授在物理與生物上一些經典模型的推導（這是Ａ的部份）以及如何用 Matlab 內建的套件去進行這些模型的模擬（這是Ｂ的部份），讓大家能看到實際使用所學數學（主要是微積分）解決問題的過程。

當然，不同經典模型的推導需要不同的背景知識，因為大家對這些相關背景知識的不熟悉會讓整門課在進行中失焦（例如會懷疑老師到底是想教什麼？物理定律還是講數學理論？事實上都不是，多數的情況是想講怎麼多講一點微積分與其應用），這對於習慣傳統數學（純粹教數學工具但沒講應用）課程的同學可能比較難捉到重點。我相信，如果把建模課拆成「微分方程」、「向量分析」、「變分學」這三門課，在每門課中同學就不會覺得沒學到東西，然而老師也請大家捫心自問，真的花了足夠的時間去了解了我們在建模課中所講到與這三門課相關的東西了嗎？雖然建模課在與向量微積分和變分相關的內容所提到的部份都只是最基礎的部份，但是我相信對於絕大多數的同學來說連最簡單的部份都並沒花太多時間學習，否則期中期末考的平均不會這麼難看。不能否認的是，向量微積分和變分這兩個部份總授課時數大概就是六週，但是加上一開始量綱分析的部份，這學期真正的「知識點」也花了一半的時間來講授，有沒有學到東西，真的還是看大家有沒有花時間在這門課上面。

另外老師還想再進一步講的是，教會學生使用學過的數學工具解決問題這件事也正是臺灣的數學教育（包含中學與大學端）一直以來很欠缺的一個部份，而這正是計資組在課程的設計上想徹底扭轉的事情。老師不想當個吹噓數學多有用的人，因為老師的親身經驗是外系的人來請教數學問題時，雖然絕大多數都能很快聽懂對方的疑問但是卻也從沒真的幫忙解決過問題（當然不排除老師的能力不足）。老師現在設法做的就是在數學系的課程框架下去重新設計課程，慢慢讓大家在經過這一連串的訓練之後能有理直氣壯地說出「學數學還是挺有用」的信心，很不希望大家在畢業出社會後才一直說很後悔進到數學系學（傳統數學課程的）這些（沒有用的）東西。

基於上述的想法，老師也就順便回應一下關於微方課中可以學到特定的微分方程的解法這件事。姑且不論微方課在求方程解這一塊事實上也是多學一點微積分的應用，在微方課所學到的求解本領，並不一定有辦法解決實際的問題或是用於了解實際的現象。一個最簡單的例子是我們在課堂上講過的 Lotka-Volterra 模型，這個方程式雖然很簡單，但是卻沒辦法把該方程的解析解給寫下來，當然也因此只學微方不可能看出這個模型會出現獵食者獵物的消長循環（甚至是真的有辦法把解寫下來了也看不出有週期的現象）。所以，當你想解決實際問題，會解特定的方程式常常是沒太多幫助的，在此我也借用一位這學期同時有修建模和微方課以及對物理很有興趣的同學的心得供大家參考，他說雖然他修微方後知道了一些方程的解要怎麼算出來，但是他發現他只是知道怎麼算卻並不覺得會算這些東西對於理解物理有什麼用處。當然，使用數學去理解物理也許應該是物理學家才需要做的事，但是如果同學們抱持類似的想法，那大概是完全不用修任何計資組的課了。

▲我以為會有更多程式建模的內容，卻也沒上幾次程式，導致我們在期中報告後完全不知道接下來要做什麼，也不是很清楚程式要如何寫，要我們在期末要繳交 project 有點難。
並沒有所謂的程式建模，最狹義的數學建模只有上面提到的「將實際問題轉化成數學問題」這個部份，老師在課程中加入了使用 Matlab 內建套件去跑模擬這個部份，主要原因還是希望大家不要把聚焦點放到第二部份（這個部份是數值微分方程課的內容），而是用現成工具去看第一部份建構出來的模型是否合理。然而既然是用現有套件，那的確不會用太多時間去講解，比起學數學對寫程式更有興趣的同學，應該還是要認知到這件事。

另外關於不清楚期末報告的程式怎麼寫這件事，在給大家的期末報告題目裡所需要的模擬工具（包含了 ode45 以及 solvepde），老師在課堂上的確都展示過了，只是從期末報告裡的確也發現有部份組別並沒用 Matlab 內建的 ode45 而是自己去寫 ODE solver 來完成報告。這樣做並沒有什麼不好，只是花時間自己寫在課堂上沒講的 Runge-Kutta solver 時除了必須去查找這個演算法外，同時的確會覺得我們在程式的部份並沒有花太多時間講解導致不知道怎麼進行期末報告（事實上用 ode45 去跑模擬最後程式的部份會變得很簡單）。最後還是要強調，有任何問題都可以找老師或是助教詢問，而不是自己在那空等天下掉下答案。

▲看老師推導出很多公式，覺得哇原來這就是科學，太酷了，謝謝老師這學期的用心教導。
這是為什麼數學被叫做科學之母的原因，但是也請大家記得無論如何不要只懂數學理論而不懂如何應用，搞懂數學理論是對數學本質有更深刻的理解與認識，但世界要前進不是單純懂數學理論就行的。

額外回應：
這個學期的最終成果讓老師覺得挺灰心的，主要的原因是想傳達給大家的知識點如散度定理、變分等等，從考試的成效來看是只有非常少數的同學有學進去。也許老師一開始的失策之處是考試在學期成績中所占比例不高，導致多數學生只是上課聽聽並不願意再多花時間在「硬核內容」的學習上面，這也是老師以後若再開建模課時可以調整的方向。

最後我補充一點我之前私下問機械系修課同學的修課心得來結束這次教學評量的回應。這位同學提到機械系在訓練的過程中，對於我們在課堂上提到的課題多半都會在不同的科目裡提到，但是他在建模課看到了很不一樣的風貌。例如量綱分析這個部份，在講到時並沒有像我們在課堂上展示的這麼有系統（例如定義 dimension matrix 然後寫下 PI 定理），大概就是見招拆招必須靠做題目才能慢慢對整個方法有所掌握；而對於額外要大家看的 Navier-Stokes equations 的推導，機械系老師在這個部份往往是會想很快帶過（因為實際上不懂推導過程不影響之後的應用），但是事實上在推導過程中提到的一些概念串起了很多他在不同機械系課程有學過的東西，讓他覺得非常有收穫會推薦機械系修流體力學的同學去看。