國立中央大學 109 學年度上學期分析導論教學評量文字評量回應

部份文字評量內容及老師回應：

▲對於數學系新開的分析導論，和高微相比，高微教的速度似乎慢很多，然後我也還沒找到分析的精隨，感覺就是教很快的高微，沒看到也沒感覺到差異。
首先要先確認一個概念，就是高等微積分這門課在臺大和交大都是叫分析導論，所以這兩門課本質上的確是同一門課，在本系為了區隔數學組與計資組在這方面所學的內容因此用了不同的課名。接下來，我也說明一下高微和分析導論在本系的定位（純粹就如果我教這兩門課的話），給大家做個參考與比較。

在高等微積分這邊的目標，就是要打好大家在數學分析方面的基礎，也因此內容會包含實數完備性、點集拓樸、連續函數的性質與函數的可微性與可積性這些跟微積分理論的完整性比較相關的內容（也因此為什麼這門課傳統上被叫做高等微積分）；進階的內容則包含了與函數列收斂相關的各種課題（如 Arzela-Ascoli 定理和 Stone-Weierstrass 定理)，而在選修的高微三中則加入瑕積分與富氏分析（包含傅利葉級數與傅利葉轉換等在應用上非常重要的內容）。在分析導論這邊，則是對上述高等微積分的內容進行精簡（主要是刪除了大部份與積分相關的理論，還有一些進階內容），然後把高微三中的富氏分析（以及其在訊號處理上的應用）放進分析導論必修的部份。所以簡單說，高微在中大完整上完是三個學期，然後分析導論則是為了把在應用上很重要的富氏分析（及其應用）拉進必修會學到的內容，因此做了與高微課程不同的調整。

針對進度的部份，在高微這邊，從這個學年開始授課老師決定把進度調慢（因此未來中大高微的兩學期必修加上一學期選修在這樣的調整之後可能只會涵蓋過去必修課會講授到的部份），也因此高微這個學期的進度大約是過去正常高微內容（使用同一本教材時）的四分之三，這四分之三正好對應的是這學期分析導論的前三章。但是如同上面所提到的，分析導論在前三章的選材上有刪掉一些過於細節的東西（刪減最多的是點集拓樸的內容，在高微中閉集合和緊緻集的部份會交代得更多更完整），只要求能做到自圓其說不至於丟三落四就可以，加上原先高微第一學期也會講的第四章（連續函數的性質這部份）同時也被精簡過，也因此內容精減之後所增加的授課時間則用來上第五章（函數的微分，原先高微第六章的大量精簡版）。所以如果是跟過往的高微比較，應該速度上並沒有加快，會覺得是加快的高微很純粹是因為今年 A 班的高微進度調整為慢步調的原因。然後講個「不可靠」的消息：據說某校數學系（非臺清交成）這學期的高微進度在第四章結束時還比我們上的分析導論略快（我們上到的該校也都有提到），所以我個人會覺得這樣的課程進度應該是可受公評的，更何況如果進度不如此安排，下學期基本上是不太可能有機會上到富氏分析（的應用），這樣會使得大家更不知道為什麼要學分析。

至於差異，同樣如上所述這個學期的分析的確與傳統高微不會有差異，真正的差異會是在第二學期的部份才開始出現。這學期的分析導論主要是在打大家學如最佳化、數值線代、數值微方等等課程會用到的分析基礎。

▲分析在剛看到一個定理的時候會感到很陌生，不曉得定理想表達甚麼，但隨著不斷的思考、學習，在弄懂的那一刻，會有很大的成就感，它也讓我感到，在學習其他陌生的領域，例如：程式，再難都沒有分析難。
老師事實上很不喜歡看到類似「程式再難都沒分析難」這樣的話，原因是很多完全不懂程式的老師會一直拿這樣的話要大家還是把注意力放在學像是高微代數這樣的傳統數學課程而不需要特別去學寫程式。老師是覺得每個人的能力不同，有的人會覺得理論數學比較難學，但是老師也曾經聽過臺大的老師提及有臺大數學碩士班畢業的學生，在出去工作一陣子之後最後回去找指導教授說想回去唸博士班，原因是因為覺得寫程式很難，更別說老師也認識覺得寫程式甚至單純是使用電腦很難的數學系老師，絕非少數個案。老師是高中時已經開始學寫程式後來才開始唸理論數學，對於這兩個能力的培養過程也多少有點心得，事實有點類似是健身中在訓練不同的核心肌群需要不同的方法。計資組的課程設計，有一個目標就是希望有不同能力的學生藉由不同的方式來認識數學的重要性，而不是單純因為「高微都學得會，程式怎麼可能學不起來」這樣的傳統觀念去強迫大家在數學系只學理論數學科目。

另外在這學期分析課裡看到形形色色的抽象定理和理論之後，同學們肯定常常會有所疑惑的問題是：「為什麼計資組的學生要學分析？」或是「要學這麼抽象的分析嗎？」在這邊要先跟大家建立一個觀念：有很大一部份所謂的「應用數學」是建立在分析的基礎之上，而計資組的很多必修課基本上都是圍繞著分析這個課題展開。這學期細心的同學肯定有發現，我們的課程一直是繞著「數列收斂」這個概念上去展開，很多只要能用與數列收斂相關的方式去定義的概念，在我們的課程中就先不用通常一般人在「正常」高微課中會看到的方式去定義（最明顯的例子是函數的均勻連續性）。會這麼強調數列收斂，是因為以數列來逼近「真實」正是應用數學裡面一個常用的方法。像是大家在科學計算導論碰到的牛頓法、在數值線性代數碰到的 Jacobi method 或是 Gauss-Seidel method，或者是接下來要學的最佳化中找出最小值的 minimizing sequence 或是數值微分方程中用來逼近真實解所造出的數值解，都是先建構一個相對直觀可用來逼近真實解的方法，之後再用嚴謹的手段去證明在哪些條件下這些方法可行。因此，這個學期分析課的內容，便是給一個大框架讓大家對於數列收斂這事有更清楚的認識（然後在需要時做特殊設定直接應用），同時藉由像是數值線代等課程去讓大家更清楚具體應用的狀況以加深印象。套用一句一位學號是 101 開頭的畢業學長說過的話「一直要學到滿後面（研究所）才感覺到分析重要之處」而有「分析到用時方恨少」之嘆，而計資組的部份課程，正是把過去在數學系一定要先學完高微才能學的選修科目，設法分散到大二甚至大一進行（當然內容需要進行調整不能原封不動地照搬），所以在計資組的課程中會更容易突顯分析的重要性，但是這的確也得等大家修完大二所有的必修課甚至是應用課程之後才會有所體悟。老師非常期待大家能把學到的分析應用到其它課程（包含非數學課程）上面，能夠舉一反三或是觸類旁通，都是老師樂見的事。

另外也由下面的經驗分享來看看外系的同學如何看分析這門課：
▲來講講分析課對一個機械系學生的好處好了，第一個當然就是對邏輯的訓練，在做研究的時候前因後果很重要，用一些定理或結果前，要嚴謹的檢查條件是不是都符合，這個在數學系看起來稀鬆平常的事情，在機械系的訓練其實是很缺乏的，在機械系裡，我們常常會看到很多又臭又長的公式，但因為我們都著重於這些公式的應用，老師常常就會忽略證明，學生也常常疏忽公式的滿足條件，其實上完分析後回頭來看，這樣的結果並不意外，因為學會證明其時可以增加對假設條件的印象，對做實驗的人來說，邏輯訓練也很重要，要使用別人的實驗結果時，不外乎也要先去看他有什麼假設的條件才行。第二個幫助就是針對做數值或理論計算的人了，除了對微積分定理更深刻的了解，在工數裡的傅立葉極數和複變，證明也都會用到分析的觀念，像是不等式的操作和 compact set 的運用，當時二年級還沒修分析的我看那些證明非常吃力（當然授課老師又沒修過分析也不可能上證明），但是現在回去看的話一定輕鬆許多。而未來在做研究時，不外乎一定會接觸到數學領域的論文，分析的基礎在那時就發揮了更大的作用。
老師再補充說明一點如下：雖然這位機械系同學主要是從研究的面向去看學分析的重要性，事實上常來找老師不管是聊天還是問問題的同學，可能會聽過老師說過「只會寫程式」和「會寫程式加上懂數學」之間的可能差異。誠然寫程式能力強在很多應用的課程中會覺得相當如魚得水，但是如果只知道磨練自己的程式能力而完全忽略打基礎科目的底，在將來就是當專業碼農而沒辦法當開發者。在科技業界想要開發一些尖端先進的東西，往往是從最新的學術論文上面取經去看有沒有例如像是新的演算法可以幫忙更好地幫我們完成目標，但是要看懂這些最新的學術論文往往需要一些不錯的數學能力，這時好的分析基礎在很多時候（例如演算法開發）會非常有幫助。如果大家對自己未來的職業不是單純當碼農而是有更高的期待，那麼一定還是要想辦法來打好自己基礎的數學能力。

老師在這裡做個不一定那麼恰當的類比吧！我相信很多人都覺得在中學時學文言文沒什麼用，但是贊成學文言文的人卻幾乎都覺得它可以陶冶性情並增加文字的駕馭能力。而現在國內各大學數學系（含應用數學系）的課程處境跟文言文事實上非常類似，能了解數學有用之處並實際拿來應用的人（常常是外系的人）會覺得學數學很有用（數學系的人講數學有用多半是不真正知道數學該怎麼應用的），但是沒用到數學的人（例如文科或是藝術類別的人）就會覺得數學無用何必學那麼深的數學。同樣的，工學院或資電院等非數學系的學生能有機會在一些實用的課程中發現數學的有用之處，所以他們不見得會排斥學數學，反倒是數學系的學生因為只學理論（應數系的課程也多半比較重視理論），看不到應用面，就以類似於「因為文言文在日常生活中沒用，所以反對學文言文」的態度去排斥數學理論的學習，希望課程只介紹數學的應用面就好。通常，很多人會把唸數學當成在蹲馬步，數學系傳統上會一直強調蹲馬步的重要性，忽略更吸引人的各類武功（即應用面），而老師一直都覺得理論和應用同等地重要，所以計資組的成立就是設法在達成即使是傳統應數系也很難真正辦到的，「在理論和應用之間架起橋樑」這個目標，也因此，計資組在課程設計上兩者都要兼顧，導致計資組同學要修的必修課程比數學組的還多。

▲有時候覺得跟不上老師教的進度，總覺得還需要再花一些時間了解，有點力不從心。
▲整體學起來很吃力，證明很繁雜…
說說老師唸書時的經驗吧！老師在大二學高微時因為當時授課老師是系上大刀的關係，在大二那個學年中花了很多時間唸高微（後來的估計是一星期約四十幾個小時），這些讀高微的時間是從課堂與課堂之間的空檔加上每天晚上與週末的時間努力湊出來的，也就是說每天就是揹著高微課本，不管什麼課只要下課了有時間就拿出來看（這也直接導致老師在代數上只是略懂然後在微分方程上是完全沒學到東西的主要原因）。然而老師在學高微的路途中也非一帆風順，例如在學 compact sets 時一直會去想 R^n 的狀況下如何然後就想當然爾以為在 metric space 下也成立不小心寫下錯誤的推論，必須花很多時間學著純粹用邏輯去堆疊而盡量撇除可能會錯誤的直觀帶來的影響。即便花了這麼多時間把高微的成績顧好了之後，一直到了大四修某門選修課時才發現原來之前學的高微在這些地方會用到，然後有更多之前在高微所學的東西陸續地在不同的地方蹦出來，可以說是遍地開花。老師當年在修完高微的當下，除了知道是為了將微積分沒講清楚的部份做個交代外，也的確是不知道為什麼要學更多額外的東西，所以一直對不懂為什麼要學高微或是分析的同學，老師也只能一直試著安撫大家有學有差，箇中滋味只能由大家自己慢慢體會。

老師並非一個很聰明的人，但是相信跟大家比也至少旗鼓相當，老師在高中已經接受過比現在大家更多的數學訓練之下，在大二每個星期花四十個小時的結果是對高微的內容算是掌握度高但仍然不知道能拿來做什麼用，更不用提不願意花大量時間在高微（或說是分析）上面的各位。當然，現在老師對大家的要求一點也不及當年老師修課時被要求的程度（老師當年面對的考試題目可能是證明自己沒看過的定理 - 有點像是習題 vs. 上課內容的感覺，或是被改過條件要求判斷正確與否的敘述），因此老師從來也不會預期現在大家每個星期要花非常多的時間來唸分析然後搞懂整個來龍去脈，這很不切實際。現在多數同學會覺得分析很難，其實主要是因為大家並沒有真正建立起邏輯論述的能力（這由大家寫考卷的情況就看得出來，所以自覺邏輯不好的同學一定要常常去複習基礎數學），一旦邏輯論述的能力建立起來，學習分析和準備老師的分析考試會簡單非常多（能不能學得通透完全是另一回事，但是準備考試是絕對無虞了）。

另外還有一點老師要不厭其煩地說明的是，在分析上之所以可能會要花很多時間，有一些時間是為了補之前能力不足所花的時間，例如如果在基礎數學當初能每個星期花更多時間去真正熟悉所謂的數理邏輯推論的能力，可能現在就能少花一些時間在搞懂分析證明的邏輯是怎麼回事而能專注在分析本身要傳達的內容上面，「後續的課程如果會覺得愈來愈難常常是因為之前課程基礎沒打好所需要付出的代價」這一點也希望各位同學有所認知。不過就算撇開這些重新打邏輯基礎的事不談，老師相信很多同學應該有注意到這學期分析課的及格標準是非常寬鬆的，要過分析課只要還願意唸不可能過不了（即使是一知半解甚至是半知半解都有機會通過），因此主要還是看大家有多少耐心和毅力去撐過分析課，不過老師當然還是希望大家有真正學到東西而不是靠硬背證明通過的。

▲助教改考卷分數可以上傳快一點嗎？
這個學期最後一個多月助教因為出車禍的關係，導致最後四次小考是學期最後三個星期才改，也因此小考成績出來的比較慢，在此跟大家說聲抱歉，但是也請大家諒解。正常的情況下這樣的狀況不會發生！

額外回應：
現今這個強調多元價值、創意至上的年代，愈來愈多人忽視打好基本功的重要性，以為跳脫傳統思維有自己的想法才符合潮流，殊不知任何的創意都必須奠基於紮實的基礎之上，否則所謂的創意就只是妄想。雖說「只要能唸好數學，其它東西再難都學得會」的觀點不值得吹捧，但如果大家在數學系沒學好數理邏輯，畢業後就真的不知道能拿什麼能力去跟其他領域的人比拼了（同學們千萬別以為數學系畢業的學生數學能力就一定比別人好）。老師想表達的是，太強調數學價值的「過」與不重視基本功的「不及」都不是好事。在數學系課程中，最能用來磨練邏輯的科目當屬高等微積分／分析導論（原因是，只有在分析的證明中會比較大量使用反證法，而反證法在線性代數和代數上比較少使用；線代和代數訓練較多的是抽象思維能力），而分析的學習成效通常可以拿來當成數理邏輯是否有學好的一個重要的指標。因此，若同學們一直覺得把分析學好很困難，一定要痛定思痛地去好好復習基礎數學的內容，基數可謂是要學好、學通大學數學最重要的基礎科目。